Aplicación

 Algunas de las aplicaciones que tiene la elipse: 

- Algunas máquinas de gimnasia poseen poleas elípticas, así a través de sus poleas puede transmitir una fuerza y permitir ejercitar a un atleta.

Los planetas del Sistema Solar se mueven alrededor del Sol recorriendo trayectorias, también llamadas órbitas, elípticas. Todos los planetas viajan en el mismosentidopero se mueven a distintas velocidades, de manera que barren áreas iguales en tiempos

La relación entre un punto P de la elipse y el foco de la misma es:

a2 = b2 + c2

Existe una relación entre las dos distancias al foco, R1 y R2, y es la siguiente:

R1 - R2 = 2c R1 = a + c

Las siguientes relaciones servirán para determinar los distintos elementos de la elipse:

R1 = a(1-e) R2 = a(1+e) R1 + R2 = 2a b2 = a2(1-e2)

De manera que la ecuación cartesiana de la elipse será:

Si la elipse está girada un ángulo "ω" con respecto al eje X, la formulación se complica un poco:

entonces la fórmula de la elipse en el sistema X'Y' sería la habitual:

pero para escribirla en el sistema XY habría que aplicar la siguiente transformación:

x' = x·cosα - y·senα y' = x·senα + y·cosα

con lo que obtenemos:

y de aquí se obtiene la expresión (y los coeficientes) que teneis que rellenar y calcular en el ejercicio:

x2(b2cos2α + a2sen2α) + y2(b2sen2α + a2cos2α) + 2xysenαcosα(a2 - b2) - a2b2 = 0

Se sabe, por otro lado, que la ecuación general de una cónica es la siguiente:

Ax2 + By2 + Cxy + D = 0

y comparando las dos ecuaciones ves claramente que:

b2cos2α + a2sen2α = A b2sen2α + a2cos2α = B 2senαcosα(a2 - b2) = C -a2b2 = D